這是百度上看到的幾何難題。看起來很不好做。三角形內(nèi)有個正方形，求正方形的面積。
幾何難題
讓我們靜下心來思考一下，三角形能給我們哪些已知條件？正方形能給我們哪些已知條件？另外注意到FB=FC，線段相等給圖形旋轉(zhuǎn)帶來方便。
把△CFG繞F點旋轉(zhuǎn)180°到△BFD，此時BD∥AC，設(shè)∠A=α，則∠ABD=180°-α。設(shè)正方形邊長=x，則ED=EG=√2x。我們對△AEG和△BDE運用余弦定理，得到：
2x2=72+92-2×7×9cosα，
2x2=62+22-2×6×2cos(180-α)。
解方程得：cosα=3/5。x2=136/5。
這樣就得到了正方形的面積。這個方法簡單。很多幾何題用三角函數(shù)來解比較方便，可以參看我的其他幾篇文章。
作輔助線
再來思考如何用幾何方法解題。
既然旋轉(zhuǎn)了，就干脆用旋轉(zhuǎn)后的等價幾何題來證明一下。首先畫出圖形如下，題目變?yōu)椋?/p>
四邊形ABDG是梯形，AG∥BD，AG=9，BD=2，AB=13。F是DG的中點，E在AB上，BE=6。四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積。
等價變形后的幾何題
解題思考過程：
已知條件為梯形、正方形、線段中點、線段長度。為了找出正方形邊長與已知線段長度之間的關(guān)系，作梯形的中位線FM，延長GH交AB于N，發(fā)現(xiàn)△EFM∽△NGA。設(shè)正方形邊長為x，用相似三角形比例關(guān)系算出，HN=7x/11，EN=68/11，△EHN是Rt△，由勾股定理得到方程x2+(7x/11)2=(68/11)2。解得x2=136/5。
總結(jié)一下：將三角形通過旋轉(zhuǎn)得到一個等價梯形，用相似三角形邊長成比例得到相關(guān)數(shù)據(jù)，用勾股定理列出方程解得正方形的面積。
做完后再看老師的解法。尤其是自己花了很多時間研究之后，想知道別人有什么好的做法。
老師的解法是作BP∥FG，F(xiàn)G是三角形中位線，也是用相似三角形和勾股定理解方程，道理是相似的。不用旋轉(zhuǎn)，直接作輔助線。很好的解法，學有所獲。
老師的解法
此時心中感到無比欣慰。因為是自己研究所得，我給出的解法一定是獨一無二的。我與老師的解法形不同而意同，這也是數(shù)學的魅力所在。
當幾何題比較難解的時候，找到它的等價幾何題應該是一個不錯的方法，我有很多這方面的嘗試。
這里是輕松簡單學數(shù)學，用最簡方法，學最難數(shù)學。輕松簡單不是憑空而來，而是長期研究思考的結(jié)果。
